Physel.ru

Физика, механика и т.п.

  • Full Screen
  • Wide Screen
  • Narrow Screen
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

§ 17. Форма периодических колебаний и ее связь с гармоническим составом этих колебаний.

E-mail Печать PDF
Можно теперь ответить на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие определенной частоты у негармонического периодического колебания периода T?

Согласно теореме Фурье такое периодическое колебание представляет собой набор гармонических колебаний и, следовательно, характеризуется не одной частотой, а набором частот n=1IT, 2n, 3n и т. д., т. е. кратных наиболее низкой (основной) частоте v.

Рассмотрим осциллограммы колебаний, имеющих одинаковый период Т, но различных по своей форме. Пример таких осциллограмм мы имели на рис. 6, где было изображено несколько различных периодических колебаний одного и того же периода. По теореме Фурье каждое из этих колебаний является суммой гармонических колебаний, причем и основная частота n=l/T и ее обертоны 2n, 3n и т. д. у всех рассматриваемых периодических колебаний одинаковы, так как одинаков период Т.

Но если частоты гармоник одни и те же, то с чем связано различие формы наших периодических колебаний? Попробуем выяснить этот вопрос на примерах сложения гармонических колебаний. Это сложение осуществляется по общим правилам сложения движений (см. том I, § 6). Если складываемые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результирующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебаний, которым мы будем сейчас пользоваться.

Рис. 30. Сумма гармонического колебания и его первого обертона
На рис. 30 штриховой линией показаны развертки (осциллограммы) двух гармонических колебаний — основного тона и первого обертона. Прямая линия соответствует положению равновесия. В какой-то момент времени, т. е. в какой-то точке А этой прямой линии, имеем отрезки АВ и АС, изображающие отклонения от положения равновесия, вызванные каждым из колебаний в этот момент. Сложив эти отрезки, мы получаем отрезок AD, изображающий результирующее отклонение в точке А, Выполнив такое построение для ряда точек на прямой (с учетом знаков отклонений, т. е. плюс — вверх, минус — вниз), соединим концы всех результирующих отрезков линией. Мы получим развертку суммарного колебания (сплошная кривая на рисунке). Оно имеет тот же период, что и основная гармоника, но форма его несинусоидальна.

Попробуем теперь вдвое уменьшить амплитуду обертона. Результат сложения в этом случае показан на рис. 31. На рис. 32 амплитуды обеих гармоник те же, что и на рис. 30, но обертон сдвинут по времени на четверть своего периода. Наконец, на рис. 33 обе гармоники взяты такими же, как на рис. 30, но добавлен еще второй обертон. Во всех случаях результирующие колебания получаются с одним и тем же периодом, но совершенно различными по форме.

Рис. 31. То же, что на рис. 30, но амплитуда обертона вдвое меньше
Итак, различие формы периодических колебаний связано с тем, сколько гармоник входит в их состав, с какими они входят амплитудами и фазами.

Рис. 32. То же, что на рис. 30, но обертон сдвинут на четверть своего периода
Мы брали для простоты всего две или три складываемые гармоники; но формы периодических колебаний могут быть (и чаще всего бывают) такими, что количество обертонов будет очень большим и даже бесконечно большим. При этом для всякой формы периодического колебания каждая его гармоника имеет вполне определенную амплитуду и фазу. Стоит изменить амплитуду или фазу хотя бы одной-единственной гармоники, и форма результирующего периодического колебания в какой-то мере изменится.

Впрочем, очень часто изменения формы колебаний, обусловленные фазами гармоник, т. е. их сдвигами по времени, не играют роли в физическом явлении и поэтому не представляют интереса. Именно так, в частности, обстоит дело по отношению к звуковым колебаниям, к которым мы обратимся в следующих параграфах. В таких случаях нам важно знать лишь часто'ты и амплитуды гармоник,

Рис. 33. То же, что на рис. 30, но добавлен второй обертон
входящих в состав данного сложного колебания. Набор этих частот и амплитуд называется гармоническим спектром (или просто спектром) данного колебания.

Рис. 34. Периодическое колебание в форме толчков и спектр такого колебания
Спектры можно изображать в виде очень наглядных графиков, откладывая в определенном масштабе по горизонтальной оси частоты (или номера) гармоник, а по вертикали — их амплитуды. На рис. 34 показана осциллограмма колебания, представляющего собой периодические выбросы в одну сторону. Так меняется со временем, например, действующая периодическими толчками сила. В нижней части рисунка показан спектр этого колебания. Положение каждой линии определяет номер соответствующей гармоники и, следовательно, ее частоту, а высота линии — амплитуду этой гармоники.

Комментарии  

 
0 #2 Недоросль 14.06.2013 05:09
"Можно теперь ответить на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие определенной частоты у негармоническог о периодического колебания периода T?"
- перечитал (здесь) §5, ни где не нашёл данного вопроса, который, собственно, ввёл меня в ступор, из-за чего дальше читаемое просто не усваивается. Вабще теперь не понятно. Что это значит: отсутствие частоты... периодического колебания ПЕРИОДА Т?! А что тогда 1/Т?
Цитировать
 
 
+2 #1 31.12.2010 18:17
Теорема Фурье – равномерное вращение круга, что не есть колебание – на 200 лет отодвинула науку о колебаниях!
Академик Н.Н.Андреев запретил рассматривать еловую древесину, как анизотропный материал адекватный струнам – поздним жёстким слоям в окружении мягких ранних слоёв в стволе. При этом он занимался акустикой и редактировал книгу А.В. Римского-Корсакова и Н.А. Дьяконова «Музыкальные инструменты», М 1952. Он был согласен в главе – «Механические свойства деки клавишного инструмента», где шла речь о расчёте. Там отмечается, что (цитата) «…главное затруднение лежит даже не в стоимости и громоздкости опыта, а в том, что из-за отсутствия достаточно конкретных физических представлений о характере работы деки, как приёмника колебаний струны и как излучателя, и о назначении отдельных её элементов эксперимент оказывается малоценным».
Цитировать
 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

You are here: