Physel.ru

Физика, механика и т.п.

  • Full Screen
  • Wide Screen
  • Narrow Screen
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

§ 23. Векторы.

E-mail Печать PDF

До сих пор мы рассматривали только движение точки по заданной прямой. В этом случае для того, чтобы знать перемещение точки, было достаточно знать начальное положение точки, а также численную величину и знак пройденного пути. Точно так же, зная начальное положение точки, численное значение скорости и ее знак, мы могли ответить на вопрос, где будет точка через одну секунду, через две секунды и т. д.

Но если точка может двигаться как угодно, то этих данных уже недостаточно. Проследим по карте за движением самолета (летящего горизонтально). Пусть, например, самолет переместился из положения А в положение В (рис. 38). Отрезок АВ — перемещение самолета. Зная старое положение тела и перемещение, можно найти новое положение тела. Однако, в отличие от случая движения по заданной прямой, для этого теперь нужно знать не только численное значение длины отрезка АВ, но и направление в пространстве, в котором это перемещение произошло. При другом направлении перемещения, даже при той же его длине, самолет оказался бы в другой точке (например, в точке М, отстоящей от А на таком же расстоянии, что и точка В). Значит, перемещение характеризуется не только своей длиной, но и направлением в пространстве.

Точно так же и скорости и ускорения тел, перемещающихся по разным прямым траекториям, нужно характеризовать не только численными значениями, но и направлениями в пространстве. Скорости точки будем приписывать то же направление, что и перемещению; ускорению будем приписывать либо то же направление, либо обратное, смотря по тому, растет скорость или убывает.

В физике часто приходится встречаться с величинами, которые, как и перемещение, скорость или ускорение, характеризуются не только своим численным значением, но и своим направлением в пространстве. Мы увидим, что таковы силы взаимодействия между телами, напряженности электрических и магнитных полей и т. д. Величины, которые характеризуются своим численным значением и своим направлением в пространстве, называют векторными величинами или векторами. Таким образом, перемещение, скорость, ускорение — векторы.

Рис. 38. Перемещения, не лежащие на одной прямой. Сложение перемещений.

Векторную величину будем изображать соответственно направленным отрезком со стрелкой; длина отрезка будет изображать в выбранном масштабе численное значение векторной величины. Векторы будем обозначать либо одной буквой, напечатанной жирным шрифтом (а, А), либо стрелкой, поставленной над буквой, либо двумя буквами, обозначающими начало и конец отрезка,  изображающего вектор (АВ, АС).

В отличие от векторов, величины, которые характеризуются численным значением, но которым нельзя приписать никакого направления в пространстве, называют скалярными величинами или скалярами. Скалярами являются время, плотность вещества, объем тела, температура, расстояние (но не перемещение!) и т. д. Скалярные величины равны друг другу, если совпадают по численному значению. Векторные величины равны друг другу, если совпадают по численному значению и по направлению.

Представим себе, что тело совершило одно за другим два перемещения; например, самолет пролетел сначала по пути, изображаемому вектором АВ, а затем по пути, изображаемому вектором ВС (рис. 38). Итоговое перемещение изобразится вектором АС. Его называют суммой данных перемещений. Мы видим, что вектор суммы двух данных перемещений получается как сторона треугольника, в котором две другие стороны образованы двумя слагающими векторами перемещений. Это правило сложения называют векторным сложением или сложением по правилу треугольника (рис. 39, а). Отсюда следует, что численное значение суммы двух векторов в общем случае не равно сумме численных значений слагаемых векторов: численное значение суммы лежит между суммой и разностью численных значений слагаемых векторов. Только если слагаемые векторы расположены на одной прямой, длина вектора суммы равна сумме длин составляющих векторов (если они обращены в одну сторону) или их разности (если они обращены навстречу друг другу). В этом случае векторное сложение переходит в алгебраическое.

Рис. 39. Сложение двух векторов  по  правилу треугольника (а) и по правилу параллелограмма (б).

Векторное сложение можно производить также по правилу параллелограмма, равносильному правилу треугольника: при построении параллелограмма оба слагающих вектора откладывают от одной точки и они служат сторонами параллелограмма. Тогда диагональ параллелограмма, проведенная из той же точки, есть векторная сумма (рис. 39, б).

Векторам противоположного направления приписывают противоположные знаки. На рис. 40 векторы равной величины и противоположного направления различаются только  знаком:   А=- В.

Рис. 40. A=-B.

Аналогично сложению векторов можно ввести и их вычитание: вычесть вектор — значит прибавить вектор противоположного направления. В параллелограмме одна из диагоналей есть сумма векторов, изображаемых его сторонами, вторая диагональ есть их разность (рис. 41).

Рис. 41. Векторное вычитание: d=a-b.

Если складывают более чем два вектора (например, если тело совершает более чем два последовательных перемещения), то сумма векторов (суммарное перемещение) получится путем последовательного прибавления к первому вектору второго, к их сумме — третьего и т. д. Если данное перемещение повторяется два, три и т. д. раз, то получающееся перемещение имеет то же направление, что и вектор однократного перемещения, а по величине в два, три и т. д. раз больше однократного перемещения. Таким образом можно ввести умножение вектора на число: вектор, умноженный на число, есть вектор того же направления, численное значение которого равно численному значению исходного вектора, умноженному на это число. На рис. 42 изображены векторы  а, 3а и —1,5а.

Рис. 42. Умножение вектора на число.

Упражнение. 23.1. Доказать, что по отношению к перемещениям справедливы законы: переместительный a+b=b+a, сочетательный a+(b+c)=a+b+c и распределительный для умножения на число m(a+b)=ma+mb.

Комментарии  

 
-3 #4 04.03.2012 08:19
если не трудно можите обяснить не маленькими а и b,а на отрезках
Цитировать
 
 
+3 #3 12.01.2012 18:30
физика нужная вешь , но я ненавижу
Цитировать
 
 
+6 #2 13.10.2011 11:00
хороший сайт
Цитировать
 
 
+3 #1 30.04.2011 12:02
физика важная штука в жизни......
Цитировать
 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

You are here: