Physel.ru

Физика, механика и т.п.

  • Full Screen
  • Wide Screen
  • Narrow Screen
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на главной оптической оси. Формула линзы.

E-mail Печать PDF
Пусть точечный источник света находится в точке S на главной оптической оси линзы, на расстоянии а от ее оптического центра О (рис. 197). Рассмотрим, как будет преломляться в линзе узкий пучок лучей, примыкающий к прямой SO, являющейся осью этого пучка.

Пусть один из лучей (SM) светового пучка падает на первую преломляющую поверхность линзы в точке М, находящейся на высоте h над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваемся узким пучком лучей, означает, что h мало по сравнению с расстоянием а от источника до линзы. С другой стороны, так же как и в § 88, будем считать, что h мало по сравнению с f', а следовательно, и по сравнению с радиусами R1 и R2 ограничивающих линзу поверхностей. Угол, образуемый лучом SM с осью, обозначим g. Так как h мало, то и угол g мал. Преломленный луч пойдет по направлению ММ' и, преломившись снова на второй ограничивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направлению M'S', составляющему с осью угол g'. Обозначим через а' расстояние от оптического центра линзы до точки S', в которой преломленный луч пересекает главную ось.

Как и в предыдущем параграфе, проведем через точки М и М' плоскости, касательные к преломляющим поверхностям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму ВАВ' с преломляющим углом q. Вместо того чтобы рассматривать преломление луча SMM'S' в линзе, будем рассматривать преломление того же луча в тонкой призме ВАВ'.

Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол а, который по формуле тонкой призмы равен
(89.1)
где n — показатель преломления вещества, из которого сделана линза.

Рассмотрим также луч РМ, идущий параллельно главной оси и падающий на линзу в точке М. Преломление такого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки М" под углом j к оси и пройдет через главный фокус F' на расстоянии f' от оптического центра.

Рис. 197. Преломление в линзе луча SM, выходящего из точки S на оси. Угол ВАВ' и толщина линзы сильно преувеличены
Точки М' и М" очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке М и точках М' или М", практически не различаются и имеют один и тот же преломляющий угол q. Угол a', на который отклонится этот луч от первоначального направления после преломления в тонкой призме, равен опять (n—1)q, т. е. равен углу a. С другой стороны, этот угол a' равен, очевидно, углу j (рис. 197).

Таким образом, получаем
(89.2)
Но угол а как внешний угол в треугольнике SNS' равен сумме g+g'. Итак, имеем
(89.3)
Лучи SM, M'S' и M"F' идут под небольшими углами к оси, т. е. углы g, g' и j малы. Заменяя, как и в предыдущем параграфе, синусы малых углов самими углами и пренебрегая толщиной линзы и разницей в высоте точек М, М' и М" над осью, можно приближенно написать:
(89.4)
Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), находим
(89.5)
или, сокращая на общий множитель h,
(89.6)
В правой части полученного выражения стоит величина 1/f', которая, как мы видели в предыдущем параграфе, зависит только от свойств линзы — от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее преломляющих поверхностей.

То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит величина h, позволяет сделать очень важные выводы, а именно, что не только луч SM, но и всякий другой луч, выходящий из точки S, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку S', хотя каждый из этих лучей падает на линзу на разной высоте над осью. Единственное, но весьма существенное ограничение, которое мы накладываем на рассматриваемые лучи, состоит в том, что все они составляют с осью линзы малые углы.

Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точки S, соберутся после преломления в линзе снова в одной точке S', являющейся изображением точки S. Мы доказали, следовательно, что образующееся в тонкой линзе изображение точечного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное с помощью достаточно узкого пучка лучей, является точкой.

Изображения, при получении которых выполнено условие передачи каждой точки объекта одной точкой изображения, носят название стигматических. Изображения, у которых это условие не соблюдено, носят название астигматических.

Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей (§ 82) положения источника света S и его изображения S' обратимы, т. е., поместив источник в S', мы получим его изображение в точке S. Точки S и S' называются сопряженными.

В геометрической оптике особое значение имеет задача получения стигматических изображений. Степень стигматичности изображений определяет качество служащих для их получения оптических систем. Нарушение оптической системой стигматичности падающих на нее световых пучков ведет к расплывчатости изображения. В дальнейшем при изучении простейших оптических систем мы будем уделять большое внимание вопросу о стигматичности даваемых ими изображений.

Полученная нами формула (89.6) связывает между собой расстояния от оптического центра трех точек, находящихся на главной оси линзы: источника S, его изображения S' и фокуса F'. Это — основная формула тонкой линзы.

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

You are here: